فهرست مطالب

فصل 1. گروه و زیرگروه 1
1 - 1 نیم‌گروه 1
1 - 2 گروه 4
1 - 3 زیرگروه 10
1 - 4 هم‌دسته 12
1 - 5 مرتبهٔ عناصر در یک گروه 16
1 - 6 زیرگروه‌های نرمال و گروه خارج‌قسمت 18
1 - 7 مجموعه‌های مولد در گروه‌ها 26
1 - 8 زیرگروه جابه‌جاگرها (زیرگروه مشتق) 28
1 - 9 زیرگروه‌های ماکسیمال 32
1 - 10 مرکزساز، نرمال‌ساز 35
1 - 11 مسائل 37
1 - 12 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 41

فصل 2. همریختی و خودریختی 45
2 - 1 همریختی گروهی 46
2 - 2 هسته و تصویر یک همریختی، قضایای یکریختی 48
2 - 3 گروه‌های دوری 54
2 - 4 گروه خودریختی‌ها 61
2 - 5 همریختی‌ها و خودریختی‌های گروه‌های آبلی 64
2 - 6 مسائل 71
2 - 7 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 73

فصل 3. گروه‌های جایگشتی 75
3 - 1 گروه متقارن 76
3 - 2 قضیهٔ کیلی 77
3 - 3 جایگشت‌های دوری، ترانهش‌ها و علامت یک جایگشت 80
3 - 4 گروه متناوب 86
3 - 5 مسائل 91
3 - 6 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 92

فصل 4. گروه‌ دووجهی 93
4 - 1 گروه‌ تقارن‌های چندضلعی‌های منتظم 93
4 - 2 گروه دووجهی به‌عنوان گروه مجرد 99
4 - 3 مسائل 105
4 - 4 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 105

فصل 5. عمل گروه 107
5 - 1 مدار و ثابت نگه‌دارنده 107
5 - 2 معادلهٔ رده‌ای و قضیهٔ نقطهٔ ثابت 110
5 - 3 چند کاربرد ازعمل گروه 112
5 - 4 لم برنساید 116
5 - 5 مسائل 118
5 - 6 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 119

فصل 6. قضایای سیلو و قضیهٔ برنساید 121
6 - 1 قضایای سیلو 122
6 - 2 گرو‌ه‌های از مرتبهٔ pq 125
6 - 3 ترانسفر و قضیهٔ برنساید 128
6 - 4 مسائل 132
6 - 5 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 136

فصل 7. گروه‌های حل‌پذیر و پوچ‌توان وقضیۀ ژوردان – هولدر 137
7 - 1 گروه‌های حل‌پذیر 138
7 - 2 گروه‌های پوچ‌توان 141
7 - 3 قضیهٔ ژوردان−هولدر 150
7 - 4 مسائل 153
7 - 5 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 154

فصل 8. گروه‌های آبلی 155
8 - 1 گروه‌های آبلی متناهیاً‌ تولیدشده 156
8 - 2 گروه‌های آبلی بخش‌پذیر 165
8 - 3 گروه‌های آبلی آزاد 173
8 - 4 مسائل 175
8 - 5 منابعی برای مطالعهٔ بیشتر 178

فصل 9. حل مسائل 179
منابع 251
فهرست نمادها 255
فهرست راهنما 259

معرفی کتاب
گروه یک ساختار بسیار بنیادی و پرکاربرد در ریاضیات است. بسیاری از شاخه‌های ریاضیات به‌طور مستقیم یا غیر‌مستقیم متاثر از مفاهیم و پیشرفت‌های نظریۀ گروه‌ها بوده‌اند. هدف این کتاب معرفی و مطالعۀ مقدماتی گروه‌ها است. سعی مؤلفان بر این بوده است که متنی سهل‌الوصول ارائه دهند تا بتواند برای آموختن مفاهیم بنیادی این نظریه، برای دانشجویان و سایر علاقه‌مندان ریاضی قابل استفاده باشد. تعداد زیادی تمرین در این کتاب گنجانده شده‌اند که می‌توانند برای ممارست بیشتر و نهادینده کردن مفاهیم برای خوانندگان و کمک به مدرسان ریاضی برای انتخاب تکالیف درسی مورد استفاده قرار گیرند. به‌غیر از تمرین‌ها، این کتاب حاوی حدود ۱۵۰ مساله با درجۀ سختی گوناگون با حل کامل آنهاست که می‌تواند به عنوان منبعی سودمند برای دانشجویان شرکت‌کننده در مسابقات ریاضی داخلی و خارجی مورد استفاده قرار گیرد. همچنین در انتهای هر فصل منابع و مراجعی برای مطالعۀ بیشتر معرفی شده‌اند که می‌توانند به‌عنوان پروژه‌های درسی و تعمیق مطالب هر فصل در نظر گرفته شوند. اکثر این منابع از مقالات مجلۀ «ماهنامۀ ریاضی آمریکا» برگزیده شده‌اند.